Teoría Cinético-Molecular de los gases.

Descripción de la presión.

Supongamos que en un recipiente cúbico de arista L, contiene n moléculas, cuyas masas individuales es m. Sea u la velocidad de una molécula cualquiera. Descompongamos a u en componentes parciales paralelas a x,y,z.

Para calcular la presión media ejercida por las moléculas, mediante la aplicación de métodos esenciales, debemos hacer ciertas suposiciones respecto al comportamiento de las moléculas.

1. un gas está compuesto de moléculas.

2. todas las moléculas se encuentran dotadas de movimientos rápidos, cuyas trayectorias se hallan distribuidas caóticamente en todos los sentidos.

3. las colisiones entre moléculas y entre estas y las paredes del recipiente son perfectamente elásticas.

4. no existen fuerzas intermoleculares apreciables.

5. los diámetros de las moléculas son completamente despreciables, comparado con las distancias medias que recorren entre dos choques sucesivos.

6. el tiempo transcurrido durante una colisión es mucho menor que el tiempo transcurrido entre dos colisiones sucesivas .

Consideremos una molécula m1 que se aleja de la cara A hacia la cara B con una velocidad u1, cuya componente según el eje x es ux. El cambio del momento lineal (su trayectoria es rectilínea) considerando el choque completamente elástico es:

(1)

pues cuando la molécula llega a la pared rebota con una velocidad -u.

El tiempo transcurrido de ir de A a B es:

(2)

Por tanto, teniendo en cuenta que la frecuencia es el inverso del tiempo, tenemos que el número de choques por segundo sobre la cara B es Ux/2L por segundo. Es decir, la variación del momento o cantidad de movimiento sobre unidad de tiempo en la cara B, según la dirección x es:

(3)

En virtud de la segunda ley de Newton tenemos

(4)

Es decir, el cambio del momento lineal de una partícula  sobre una unidad de tiempo es igual a la fuerza, esta fuerza es la responsable del movimiento de la partícula, es la que origina el cambio del momento  lineal. Por consiguiente, la fuerza media, f, ejercida por la molécula sobre la cara B o A, efectuando simplificaciones en la ecuación 3, es :

(5)

Para n moléculas sería:

(6)

Ahora, consideremos la velocidad media, es decir el valor medio del cuadrado de las componentes x de las velocidades, obtenidos para todas las n moléculas estos es:

(6) y (7)

Según la tercera ley de Newton, la fuerza media ejercida por la cara B sobre las moléculas es también igual a la expresión 7. Ya que tenemos la fuerza podemos obtener la presión que las moléculas ejercen sobre las paredes, pues presión es igual a una fuerza que se ejerce sobre unidad de área, es decir:

(8)

Donde L^3  es igual al volumen del cubo. Sustituyendo L por V tenemos:

(9)

Para los ejes y,z se pueden obtener expresiones iguales:

(10) y (11)

Puesto que no pueden haber direcciones preferidas por las moléculas, se demuestra que

(12)

A partir de la ley de Pascal, sabemos que la presión es la misma en todas las direcciones, esto es Px=Py=Pz. Entonces, la presión media ejercida por las moléculas sobre el recipiente resulta ser:

(13) y (14)

La ecuación (14) se deduce reduciendo la ecuación (14), a partir de la masa total que vine dada por M=nm. Si densidad es igual a masa sobre volumen, de la ecuación (14) podemos deducir  la siguiente expresión:

(15)

 Así pues, la teoría atómica sugiere un mecanismo en el cual un gas puede ejercer una presión, y una relación cuantitativa entre esta presión y las propiedades del gas. A partir de estas ecuaciones, podemos calcular las densidades de los distintos gases y las velocidades de las moléculas o átomos a una presión dada. Esta descripción de presión, sugiere que la presión en sí, es la fuerza promedio que se ejerce sobre una superficie debido al gran número de impulsos causados por los choques elásticos de las partículas de gas que se mueven velozmente.  

A partir de la ecuación (14) podemos conseguir otra expresión, en este caso la ecuación de Boyle, pues:

(16)

Puesto que todos los términos de la derecha son constante para una dada masa de gas, esta ecuación es idéntica a la ecuación de Boyle.

Ahora, para determinar la energía cinética de las partículas de un gas, debemos tener en cuenta que para una dada masa de gas es constante la suma de las velocidades cuadráticas de las partículas, de esto deducimos que cada partícula tiene una misma velocidad. La energía cinética de movimiento lineal de una solo partícula es 1/2mv^2, y para N partículas de en un gran volumen tenemos:

(19)

Comparado con la ecuación (16) tenemos:

(20)

Por la ley de Boyle sabemos que el producto PV es constante, y por lo tanto, la energía cinética es también constante. Para obtener este valor es sólo necesario conocer la presión y el volumen de la masa gaseosa.

Otra deducción interesante es el hecho de que

(21)

Es decir, la ley de Boyle es igual a dos tercios de la energía cinética de traslación de las moléculas. Por tanto, la energía cinética molecular debe ser constante para que la ecuación tenga sentido, pues si recordamos, la ecuación de Boyle describe el comportamiento de un gas a temperatura constante (PV=constante). Con esta expresión, podemos dar un paso más y establecer la correlación entre la temperatura absoluta y la energía cinética media.

Si ahora comparamos la ecuación (16) con la ecuación de estado de los gases tenemos:

(22)

Podemos considerar esta ecuación como la definición de temperatura en base a la teoría cinética.